Pendesakan secara immiscible terjadi ketika fasa antara dua fluida terpisah dengan interphase yang jelas. Pendesakan dengan teknik ini sangat potensial untuk kondisi:
Metode miscible displacement lebih popular hingga kini karena menghasilkan efisiensi pendesakan optimum akibat penurunan Interfacial Tension (IFT) antara minyak-gas. Namun jika tekanan reservoir telah terdeplesi hingga di bawah tekanan minimum miscible (minimum miscible pressure) atau minyak didominasi oleh fraksi berat (C7+) maka kondisi miscible tidak dapat tercapai sehingga metode miscible displacement tidak lagi bermanfaat.
Mekanisme pendesakan dengan immiscible displacement dilakukan dengan menurunkan viskositas minyak berat dengan men-swelling fraksi berat minyak. Untuk API minyak di bawah 25\(^\circ\)API, secara umum, kondisi miscible tidak dapat tercapai. Teknik immiscible displacement merupakan alternatif yang baik untuk kondisi ini karena penurunan viskositas akan signifikan pada reservoir dan pipeline/transportasi. Selain itu, walaupun metode EOR lainnya seperti steamflooding sangat banyak dilakukan, metode ini semakin lama cenderung dinilai lebih mahal dan banyak memberikan dampak polusi lingkungan.
Mekanisme transfer massa yang biasanya terjadi pada immiscible CO2 flooding yaitu kelarutan, difusi, dan dispersi. Kelarutan (solubility) merupakan fungsi dari tekanan, temperatur, dan salinitas air. Semakin tinggi tekanan dan semakin rendah temperatur, maka kelarutan CO2 akan semakin meningkat. Untuk kondisi tekanan rendah (1000 psi), efek kelarutan CO2 pada minyak akan dominan terjadi. CO2 bersifat lebih larut pada hidrokarbon dibandingkan dengan fasa liquid lainnya. Hadirnya CO2 juga akan menurunkan viskositas minyak dan menaikkan viskositas air.
Difusi merupakan mekanisme transfer massa secara makroskopik akibat gerakan acak molekul dan tidak bergantung pada proses konveksi. Mekanisme difusi akan membantu CO2 menembus heavy oil yang akan menurunkan efek gravitasi dan viscous instability.
Ketika CO2 mendesak dan melarut dalam fasa minyak, terdapat beberapa efek yang akan terjadi dalam perubahan sifat-sifat minyak,
Aliran CO2 dapat dilakukan baik secara immiscible maupun miscible. Secara umum tipe miscible lebih dipilih karena dengan teknik ini akan diperoleh recovery minyak yang lebih besar. Namun hal ini tidak selalu terjadi di lapangan karena tekanan injeksi akan dibatasi oleh tekanan rekah reservoir. Mekanisme recovery minyak untuk pendesakan immiscible dipengaruhi oleh temperatur reservoir, tekanan injeksi, komposisi minyak, dan kemurnian dari CO2.
Terdapat empat kontributor dalam immiscible displacement untuk meningkatkan recovery minyak: swelling (ekspansi volume) minyak, penurunan viskositas, penurunan interfacial tension, dan blowdown recovery. CO2 bersifat sangat larut dalam minyak dan seiring dengan melarutnya CO2, volume minyak akan meningkat mulai dari 10% hingga 40%. Penurunan viskositas dapat terjadi dalam rentang 1/10 hingga 1/100 dari viskositas awal. Penurunan viskositas ini akan meningkatkan mobilitas dari minyak sehingga recovery menjadi lebih besar. Selain itu, setelah fasa injeksi, tekanan reservoir dapat turun sehingga CO2 yang sebelumnya larut akan keluar dan mendesak minyak menuju sumur produksi. Mekanisme blowdown recovery ini mirip dengan mekanisme primary recovery untuk solution gas drive reservoir.
Beberapa metode operasional yang termasuk ke dalam EOR immiscible CO2 antara lain,
Distribusi CO2 pada air dan heaxadecane (heavy oil) dinyatakan dengan K-value, \[K = \left[ \frac{\omega_{CO_2}^w}{\omega_{CO_2}^o} \right]_{p,T}...(1)\] Korelasi Mehrotra and Svrcek (1982) digunakan untuk menentukan kelarutan CO2 dalam minyak, yaitu \[Sol \left( \frac{m^3}{m^3} \right) = C_1 + C_2P_s + C_3\left( \frac{P_s}{T+273.16} \right) + C_4\left( \frac{P_s}{T+273.16} \right)^2...(2)\] dimana, \[C_1 = 0.0277041\] \[C_2 = 4.0928\] \[C_3 = 3.206 \times 10^{-6}\] \[C_4 = 1.6428\] \[C_5 = 0.098057\] \[C_6 = 5.388\] \[C_7 = 0.2499\]
Sedangkan densitas minyak dihitung dengan menggunakan korelasi, \[\rho_o = \rho_i - 0.1027y^{0.608}+0.1407y^{0.6133}...(3)\] dimana, \[y = \frac{\gamma \rho_i (p-p_b)^{1.25}}{T}...(4)\] \(\rho_o\) = Densitas minyak dengan CO2 terlarut (kg/m3) \(\rho_i\) = Densitas minyak awal tanpa CO2 (kg/m3) \(\gamma\) = Specific gravity minyak \(p_b\) = Tekanan bubble minyak (kPa)
Swelling factor dihitung dengan korelasi yang diberikan oleh Emera and Sarma sebagai berikut,
Untuk minyak berat dengan berat molekul MW > 300 lb/lb-mol \[SF = 1+0.3302Y - 0.8417Y^2 + 1.5804Y^3 - 1.074Y^4 - 0.0318Y^5 + 0.21755Y^6...(5)\] dimana, \[Y = 1000 \left[ \left( \left( \frac{Y}{MW} \right)Sol (Mol Fraction) \right)^2 \right] \frac{EXP \left( \frac{Y}{MW} \right)}{MW}...(6)\] Untuk minyak ringan dengan MW < 300 lb/lb-mol \[SF = 1 + 0.0484Y − 0.9928Y^2 + 1.6019Y^3 − 1.2773Y^4 − 0.482667Y^5 + 0.06671Y^6...(7)\]
Korelasi Beggs and Robinson (1975) digunakan dalam menentukan viskositas minyak dengan CO2 terlarut di dalamnya yaitu, \[\mu = A (10^x - 1)^B ...(8)\] dimana, \[x = 10^{(3.0324-0.02023\gamma_o)}(T)^{-1.163}...(9)\] \[A=10.7 \left( \frac{Sol\left( \frac{m^3}{m^3} \right)}{5.615}+100 \right)^{-0.515}...(10)\] \[B=5.44\left( \frac{Sol\left( \frac{m^3}{m^3} \right)}{5.615}+150 \right)^{-0.388}...(11)\] Viskositas aktual dari minyak dengan hadirnya CO2 terlarut akan berkurang dan dapat ditentukan dengan menggunakan korelasi Nissan and Grundberg berikut, \[\log \mu = \omega_o^{CO_2}\log \mu_o^{CO_2}+\omega_o^{o}\log \mu_o^{o}+G\omega_o^{CO_2}\omega_o^{o}...(12)\] Di mana G didefinisikan sebagai interaction parameter/Nissan and Grundberg Constant dan nilai G = 0 untuk kondisi ideal.
Mobilitas dari fluida sangat dipengaruhi oleh permeabilitas relatif dan viskositas masing-masing komponen liquid. Dan seperti yang telah dibahas, viskositas sangat dipengaruhi oleh konsentrasi CO2 dalam liquid dan beberapa parameter lainnya. Mobilitas dari fluida didefinisikan sebagai, \[\lambda_o = \frac{kk_{ro}}{\mu_o}...(13)\] \[\lambda_w = \frac{kk_{rw}}{\mu_w}...(14)\] Sedangkan fractional flow aliran merupakan perbandingan mobilitas air terhadap mobilitas total fluida, \[f_w = \frac{\lambda_w}{\lambda_o + \lambda_w}...(15)\] Jika diuraikan, maka persamaan di atas menjadi \[f_w = \frac{S_{wD}^{W_{Exp}}}{S_{wD}^{W_{Exp}}+A \times (1-S_{wD})^{Oil_{Exp}}}...(16)\] \[\frac{\partial f_w}{\partial S_w} = A \times B \times \frac{W_{Exp}\times S_{wD}^{(W_{Exp^{-1}})} \times (1-S_{wD})^{Oil_{Exp}}+Oil_{Exp} \times S_{wD}^{W_{Exp}}\times(1-S_{wD})^{(Oil_{Exp^{-1}})}}{(S_{wD}^{W_{Exp}}+A \times (1-S_{wD})^{Oil_{Exp}})^2}...(17)\] dimana, \[A = \frac{k_{ro@S_{wc}}\mu_w}{k_{rw@S_{or}}\mu_o}...(18)\] \[B = \frac{1}{1-S_{wc}-S_{or}}...(19)\] \[S_{wD} = \frac{S_{w}-S_{wc}}{1-S_{wc}-S_{or}}...(20)\] \(\mu_w\) = viskositas air \(\mu_o\) = viskositas minyak \(k_{ro@S_{wc}}\) = Permeabilitas relatif minyak pada connate water saturation. \(k_{rw@S_{or}}\) = Permeabilitas relatif air pada residual oil saturation.
Untuk perubahan saturasi yang kontinu persamaan material balance yang mengandung komposisi dari masing-masing fasa (Minyak, CO2, dan Air) diberikan sesuai persamaan berikut, \[\frac{\partial}{\partial t}[S_wm_{wj}+(1-S_w)m_{oj}]=- \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{q}{A \phi}(f_wm_{wj}+(1-f_w)m_{oj})\right]...(21)\] Untuk region di mana tidak terjadi perubahan konsentrasi CO2 maka persamaan (21) dapat diubah menjadi \[\left( \frac{\partial S_w}{\partial t} \right)_x = - \frac{q}{A \phi} \left( \frac{\partial f_w}{\partial x} \right)_t ...(22)\] Di mana persamaan di atas merupakan solusi untuk Buckley-Leverett. Untuk region di mana terjadi perubahan konsentrasi massa dari komponen CO2, solusi yang dihasilkan dapat diuraikan ke dalam bentuk matrix pada komponen 1,2, dan 3 yaitu:
\[ \left[ \begin{array}{c} u[f_wa_j^`+m_{oj}^`] & (m_{oj}^`+S_wa_j^`) & [(f_wa_j + m_{oj})]\\ u[f_wa_j^`+m_{oj}^`] & (m_{oj}^`+S_wa_j^`) & [(f_wa_j + m_{oj})]\\ u[f_wa_j^`+m_{oj}^`] & (m_{oj}^`+S_wa_j^`) & [(f_wa_j + m_{oj})] \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial C}{\partial x} \\ \frac{\partial C}{\partial t} \\ \frac{\partial u}{\partial x} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -\left[ \frac{\partial S_w}{\partial t} \right] + u \frac{\partial f}{\partial x}a_j \\ -\left[ \frac{\partial S_w}{\partial t} \right] + u \frac{\partial f}{\partial x}a_j \\ -\left[ \frac{\partial S_w}{\partial t} \right] + u \frac{\partial f}{\partial x}a_j \end{array} \right]...(23) \] Untuk perubahan konsentrasi yang kontinu dapat diberikan persamaan kecepatan aliran menjadi \[\left( \frac{\partial X}{\partial t} \right)^+ = -u^+\left( \frac{f_w^++\epsilon}{S_w^++\epsilon} \right)...(24)\] Dengan \(\epsilon\) adalah perbandingan antara dua determinan matrix \[ \epsilon = \frac {Det \left[ \begin{array}{c} a_1^+ & (m_{o1}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o1}^+] \\ a_2^+ & (m_{o2}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o2}^+] \\ a_3^+ & (m_{o3}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o3}^+] \\ \end{array} \right]} {Det \left[ \begin{array}{c} a_1^+ & (a_{1}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o1}^+] \\ a_2^+ & (a_{2}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o2}^+] \\ a_3^+ & (a_{3}^{`+}) & [f_w^+a_1^++m_{o3}^+] \\ \end{array} \right]}...(25) \] Maka untuk region saturasi kontinu yang terletak pada bagian upstream, maka sesuai dengan notasi \[\left( \frac{\partial X}{\partial t} \right)^- = -u^-\left( \frac{f_w^++\epsilon}{S_w^++\epsilon} \right)...(26)\] Untuk menyelesaikan persamaan di atas secara keseluruhan dibutuhkan perhitungan mengenai konsentrasi komponen terhadap komponen lain dan juga derivative-nya. Untuk itu maka diberikan hubungan antara fraksi mol terhadap konsentrasi massa per volume liquid sebagai berikut
Untuk fasa air \[m_{wj} = \frac{1}{\left(1+\frac{M_j}{M_w}\left(\frac{1-x_{wj}}{x_{wj}}\right)\right)}\rho_w ...(27)\] dimana, \(m_{wj}\) = Konsentrasi komponen-j dalam air (gr/cc) \(x_{wj}\) = Fraksi mol komponen-j dalam air \(M_j\) = Berat molekul komponen-j (gr/mol) \(\rho_w\) = Densitas air (gr/cc)
Untuk fasa minyak \[m_{oj} = \frac{1}{\left(1+\frac{M_j}{M_o}\left(\frac{1-x_{oj}}{x_{oj}}\right)\right)}\rho_o ...(28)\] dimana, \(m_{oj}\) = Konsentrasi komponen-j dalam minyak (gr/cc) \(x_{oj}\) = Fraksi mol komponen-j dalam minyak \(M_j\) = Berat molekul komponen-j (gr/mol) \(\rho_o\) = Densitas minyak (gr/cc)
Sedangkan hubungan antara fraksi mol antarkomponen diberikan sebagai berikut, \[x_{w1} + x_{w2} + x_{w3} = 1...(29)\] dimana, \(x_{w1}\) = Fraksi mol komponen minyak dalam fasa air (mol/mol) \(x_{w2}\) = Fraksi mol komponen CO2 dalam fasa air (mol/mol) \(x_{w3}\) = Fraksi mol komponen air dalam fasa air (mol/mol)
\[x_{o1} + x_{o2} + x_{o3} = 1...(30)\] dimana, \(x_{o1}\) = Fraksi mol komponen minyak dalam fasa minyak (mol/mol) \(x_{o2}\) = Fraksi mol komponen CO2 dalam fasa minyak (mol/mol) \(x_{o3}\) = Fraksi mol komponen air dalam fasa minyak (mol/mol)
Derivative dari konsentrasi untuk fasa air dan minyak berturut-turut diberikan, \[m_{wj}^`= \frac{d}{dC}(m_{wj})...(31)\] dimana, \(m_{wj}^`\) = Derivatif konsentrasi komponen-j dalam air terhadap konsentrasi CO2 (gr/cc)
\[m_{oj}^`= \frac{d}{dC}(m_{oj})...(32)\] dimana, \(m_{oj}^`\) = Derivatif konsentrasi komponen-j dalam minyak terhadap konsentrasi CO2 (gr/cc)
Selain itu untuk perubahan saturasi yang kontinu dalam area region di luar boundary interphase, nilai saturasi dapat ditentukan dengan mengiterasi persamaan berikut, \[\frac{K^n + K^{n+1} \left( \frac{2+\sigma^n \times \Delta X_{w2}}{2-\sigma^n \times \Delta X_{w2}} \right)}{2}=\frac{\left( \frac{2+\sigma^n \times \Delta X_{w2}}{2-\sigma^n \times \Delta X_{w2}} \right)F^{n+1}-F^n}{B^{n+1}-B^n}...(33)\] dimana, \[K^n = \frac{f_w^n + \epsilon^n}{S_w^n + \epsilon^n} ...(34)\] \[\sigma^n = \frac{S_w^n - f_w^n}{S_w^n + \epsilon^n} ...(35)\] \[F^n = f_w^nm_{w1}^n+(1-f_w^n)m_{o1}^n ...(36)\] \[B^n = S_w^nm_{w1}^n+(1-S_w^n)m_{o1}^n ...(37)\]
Untuk perubahan saturasi yang tidak kontinu persamaan material balance yang mengandung komposisi dari masing-masing fasa akan memberikan \[\frac{A\phi}{q^-}\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{\frac{q^+}{q^-}[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{oj}^+]-[f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{oj}^-]}{[S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{oj}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{oj}^-]}...(38)\]
Solusi umum persamaan material balance untuk persamaan di atas dapat dilakukan dengan membagi ke dalam komponen-komponen aliran: minyak, CO2, dan air. Sehingga dapat dituliskan,
Untuk fasa minyak, \[\frac{A\phi}{q^-}\left(\frac{dx}{dt}\right)_{S_w} = \frac{\frac{q^+}{q^-}[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{o1}^+]-[f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{o1}^-]}{[S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{o1}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{o1}^-]}...(39)\]
Untuk fasa CO2, \[\frac{A\phi}{q^-}\left(\frac{dx}{dt}\right)_{S_w} = \frac{\frac{q^+}{q^-}[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{o2}^+]-[f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{o2}^-]}{[S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{o2}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{o2}^-]}...(40)\]
Untuk fasa air, \[\frac{A\phi}{q^-}\left(\frac{dx}{dt}\right)_{S_w} = \frac{\frac{q^+}{q^-}[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{o3}^+]-[f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{o3}^-]}{[S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{o3}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{o3}^-]}...(41)\]
Dengan menganggap suku yang tidak diketahui \(\left(\frac{dx}{dt}\right)\), \(u^-\), dan \(u^+\) lalu diselesaikan dengan menggunakan aturan aljabar linear oleh Cramer, dan diperoleh \[\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{(0)}{Det \left[ \begin{array}{c} \left[ [S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{oj}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{oj}^-] \right] & [f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{oj}^-]-[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{oj}^+] \\ \left[ [S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{oj}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{oj}^-] \right] & [f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{oj}^-]-[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{oj}^+] \\ \left[ [S_w^+m_{wj}^++(1-S_w^+)m_{oj}^+]-[S_w^-m_{wj}^-+(1-S_w^-)m_{oj}^-] \right] & [f_w^-m_{wj}^-+(1-f_w^-)m_{oj}^-]-[f_w^+m_{wj}^++(1-f_w^+)m_{oj}^+] \\ \end{array} \right]}...(42)\]
Karena \(\left(\frac{dx}{dt}\right)\) ≠ 0 maka determinan dari penyebut pada ruas kanan haruslah bernilai 0. Maka nilai determinan berikut harus sama dengan 0. \[ Det \left[ \begin{array}{c} \left[ [S_w^+m_{w1}^++(1-S_w^+)m_{o1}^+]-[S_w^-m_{w1}^-+(1-S_w^-)m_{o1}^-] \right] & [f_w^-m_{w1}^-+(1-f_w^-)m_{o1}^-]-[f_w^+m_{w1}^++(1-f_w^+)m_{o1}^+] \\ \left[ [S_w^+m_{w2}^++(1-S_w^+)m_{o2}^+]-[S_w^-m_{w2}^-+(1-S_w^-)m_{o2}^-] \right] & [f_w^-m_{w2}^-+(1-f_w^-)m_{o2}^-]-[f_w^+m_{w2}^++(1-f_w^+)m_{o2}^+] \\ \left[ [S_w^+m_{w3}^++(1-S_w^+)m_{o3}^+]-[S_w^-m_{w3}^-+(1-S_w^-)m_{o3}^-] \right] & [f_w^-m_{w3}^-+(1-f_w^-)m_{o3}^-]-[f_w^+m_{w3}^++(1-f_w^+)m_{o3}^+] \\ \end{array} \right] = 0 ... (43) \] Besarnya konsentrasi CO2 dalam liquid dapat ditentukan dengan menggunakan batas iterasi di atas, yaitu di mana determinan dari matrix tersebut bernilai 0.
Asumsi-asumsi yang digunakan di dalam perhitungan carbonate waterflood antara lain, - Digunakan asumsi-asumsi persamaan Buckley-Leverett: variasi porositas dan permeabilitas diabaikan, formasi linear, fluida incompressible, terdapat hanya dua fasa fluida yang mengalir pada suatu waktu, saturasi air dan minyak awal konstan, dan digunakan persamaan fractional flow \(f_w = \frac{\lambda_w}{\lambda_o + \lambda_w}\) sehingga diabaikan efek gravitasi dan kapiler.
Model predictive untuk immiscible CO2 yang dikembangkan dalam penelitian ini merupakan gabungan dari solusi yang diberikan oleh Welge (1960) untuk Enriched Gas Injection dan DeNevers (1963) untuk simulataneous CO2+Water Injection atau Carbonate Waterflooding yang termasuk salah satu kategori immiscible CO2. Dalam penelitian kali ini juga akan digunakan predictive model untuk kondisi tekanan antara sumur injeksi dan produksi konstan sesuai algoritma yang diusulkan oleh Whillite (1986). Hal ini dilakukan mengingat pentingnya menjaga tekanan konstan di bawah tekanan rekah dari formasi.
Ketika injeksi dilakukan dengan kondisi tekanan konstan, maka laju alir akan bervariasi sesuai dengan waktu. Solusi pendesakan frontal untuk pressure drop konstan dapat ditentukan dengan mereview kembali persamaan aliran semi-empirik Darcy, \[\frac{dx}{dt} = \frac{q_t}{A\phi}\left( \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right)...(44)\] ketika pressure drop bernilai konstan, maka aliran fluida akan mengikuti persamaan Darcy sebagai berikut, \[q_t = - \left(\frac{k_{ro}}{\mu_o}+\frac{k_{rw}}{\mu_w}\right)k_bA \frac{dP}{dx}...(45)\] atau \[q_t = - \lambda_rk_bA \frac{dP}{dx}...(46)\] Dimana \(\lambda_r\) merupakan total relative mobility, dan kb adalah permeabilitas absolut batuan. Karena qt konstan untuk posisi dan waktu tertentu. Dengan mengintegralkan persamaan di atas, maka akan diperoleh \[q_t =frac{k_bA(p_i-p)}{\int_0^L \lambda_r^{-1}dx}...(47)\] dimana \[\lambda_r^{-1} = \frac{1}{\lambda_o+\lambda_w}...(48)\] Dikenal dengan istilah apparent viscosity dari minyak dan air pada saturasi tertentu. Untuk memudahkan menyelesikan persamaan di atas, maka dikenalkan konsep average apparent viscosity yang didefinisikan sebagai, \[\bar{\lambda^{-1}} = \frac{\int_0^L\lambda_r^{-1}dx}{\int_0^Ldx}...(49)\] Jika integral di atas dapat dihitung, maka laju alir total fluida dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut \[q_t = \frac{k_bA(p_i-p)}{\bar{\lambda^{-1}}L}...(50)\] Atau dalam satuan lapangan, \[q_t = 1.127 \times 10^{-3}\frac{k_bA(p_i-p)}{\bar{\lambda^{-1}}L}...(51)\] Untuk kondisi sebelum water breakthrough, average apparent viscosity diberikan oleh persamaan berikut, \[\bar{\lambda_r^{-1}} = (\bar{\lambda_{swf}^{-1}}-\lambda_{ro}^{-1})Q_i\left( \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right) + \lambda_{ro}^{-1}...(52)\] dimana \[\lambda_{ro}^{-1} = \frac{\mu_o}{(k_{ro})_{siw}}...(53)\]
Diberkan selang waktu tn dan tn+1, dan diasumsikan qt dapat diestimasi dengan \(\frac{1}{2}\)(qtn+1 + qtn) besarnya tn+1 dapat diestimasi dengan persamaan berikut, \[t^{n+1} = t^n + \frac{2(Q_i^{n+1}-Q_i^n)V_p}{(q_t^{n+1}-q_t^n)}...(54)\] Untuk n = 0, tn = 0, dan Qin = 0. Untuk kasus ini, besarnya t1 dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut, \[t^1 = \frac{2(Q_i^1)V_p}{(q_t^1+q_t^0)}...(55)\] Karena fluida diasumsikan incompressible, maka pressure drop akan terpropagasi ke seluruh reservoir dan menyebabkan laju alir awal dapat diestimasi dengan persamaan aliran pada kondisi saturasi awal, \[q_t^0 = 1.127 \times 10^{-3}\frac{k_bA(p_i-p)}{\bar{\lambda^{-1}}L} ...(56)\] Water cut di permukaan dari total aliran dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut, \[f_{ws} = \frac{f_w}{f_w + (1-f_w)B_o}...(57)\] Sehingga laju alir minyak yang diperoleh di permukaan sebesar, \[q_o^n = Q_r^n(1-f_{ws})...(58)\]
Dan laju alir di permukaan, \[q_w^n = Q_r^n -q_{or}^n...(59)\]
Kumulatif produksi minyak dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut, \[N_p^{n-1} = N-p^n = \left(\frac{q_o^n + q_o^{n-1}}{2}\right) \times (t^{n-1}-t^n)...(60)\] Sedangkan recovery factor dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut, \[RF^n = \frac{N_{pF}^n}{IOIP} \times 100 ... (61)\]